Question

已知橢圓與x軸相切，兩個焦點坐標為F₁（1，1），F(xiàn)₂（5，2），則其長軸長為

26

．

Answer 1

分析：依題意，分別過F₁（1，1），F(xiàn)₂（5，2），向x軸作垂線交x軸為A，B，設(shè)M是橢圓和x軸切點，過M做垂線交F₁F₂于Q，連接F₁M，F(xiàn)₂M，延長F₂F₁交x軸為K，易求K（-3，0）且tan∠F₂KM=

1

4

，利用光學(xué)性質(zhì)可知∠F₁MQ=∠QMF，利用△F₁MA∽△F₂MB，可求得相似比為λ=2，于是得M坐標為（

7

3

，0），利用橢圓的定義即可求得長軸長．

解答：解：∵分別過F₁（1，1），F(xiàn)₂（5，2），向x軸作垂線交x軸為A，B，
設(shè)M是橢圓和x軸切點，過M做垂線交F₁F₂于Q，連接F₁M，F(xiàn)₂M，延長F₂F₁交x軸為K，
則K點坐標為K（-3，0）且tan∠F₂KM=

1

4

（斜率）
由于∠F₁MQ=∠QMF₂（橢圓的光學(xué)性質(zhì)，入射角等于反射角．）
所以△F₁MA∽△F₂MB，相似比為λ=2，
∴M坐標為（

7

3

，0）
故|F₂M|=2|F₁M|，
∴長軸2a=|F₁M|+|F₂M|=

( 7 3 -1)2+12

+

( 7 3 -5)2+22

=

5

3

+

10

3

=5
故答案為：5．

點評：本題考查橢圓的方程與橢圓性質(zhì)的綜合應(yīng)用，利用△=0是解決問題的關(guān)鍵，也是思維的難點，考查分析、轉(zhuǎn)化與解決問題的能力，屬于中檔題．