Question

（文科）袋中共有紅球和白球10個(gè)，其中紅球個(gè)數(shù)不少于3個(gè)，現(xiàn)從袋中任意取出3個(gè)球，問(wèn)袋中有多少個(gè)紅球時(shí)，使取得的球全為同色球的概率最�。�

Answer 1

分析：由題意，可設(shè)x，y分別為紅球和白球的個(gè)數(shù)，則有x+y=10，x，y∈N₊，x≥3，取得的球全為同色球包括兩種情況，三個(gè)球全是紅色球，三個(gè)球全是白色球，分別求出這兩個(gè)事件的概率，由于此兩事件互斥，求出兩事件概率的和的表達(dá)式，再由基本不等式計(jì)算出概率的最值

解答：解：設(shè)x，y分別為紅球和白球的個(gè)數(shù)，則有x+y=10，x，y∈N₊，x≥3
從10個(gè)球中任取3個(gè)球，全為紅色的概率為P1=

C 3 x

C 3 10

=

x(x-1)(x-2)

10×9×8

，
全為白色的概率為P2=

C 3 y

C 3 10

=

y(y-1)(y-2)

10×9×8

，上述兩個(gè)事件互斥，故取出3個(gè)球全為同色球的概率為：P=P1+P2=

x(x-1)(x-2)

10×9×8

+

y(y-1)(y-2)

10×9×8

=

x(x-1)(x-2)+y(y-1)(y-2)

720

P= (x3+y3)-3(x2+y2)+2(x+y) 720 = (x+y)3-3xy(x+y)-3[(x+y)2-2xy]+2(x+y) 720 = 1000-30xy-3(100-2xy)+20 720 =1- xy 30

又∵x+y=10，
∴xy≤(

x+y

2

)2=25，此時(shí)x=y=5，
因此當(dāng)x=5時(shí)，P最小，此時(shí)P=

1

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式求最值，等可能事件的概率互斥事件的概率加法公式，排列組合在簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵理解題意，將求同色球的概率的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求紅色球與白色球的概率，考查了分類思想與轉(zhuǎn)化的思想，運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算的能力