Question

設F（1，0），點M在x軸上，點P在y軸上，且

MN

=2

MP

，

PM

⊥

PF

．
（1）當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃）是曲線C上的點，且|

AF

|，|

BF

|，|

DF

|成等差數列，當AD的垂直平分線與x軸交于點E（3，0）時，求B點坐標．

Answer 1

考點：軌跡方程,等差數列的通項公式

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據且

MN

=2

MP

，可得P為MN的中點，利用

PM

⊥

PF

，可得

PM

•

PF

=0，從而可得點N的軌跡C的方程；
（2）先根據拋物線的定義可知|

AF

|=x₁+

p

2

，|

BF

|=x₂+

p

2

，|

DF

|=x₃+

p

2

，利用|

AF

|，|

BF

|，|

DF

|成等差數列，可得x₁+x₃=2x₂，確定AD的中垂線方程，利用AD的中點在直線上，即可求得點B的坐標．

解答： 解：（1）設N（x，y），則由

MN

=2

MP

，得P為MN的中點，
所以M（-x，0），P（0，

y

2

）
又

PM

⊥

PF

，∴

PM

•

PF

=0
∴y²=4x（x≠0）；
（2）由（1）知F（1，0）為曲線C的焦點，由拋物線定義知拋物線上任一點P₀（x₀，y₀）到F的距離等于其到準線的距離，即|P₀F|=x₀+

p

2

故|

AF

|=x₁+

p

2

，|

BF

|=x₂+

p

2

，|

DF

|=x₃+

p

2

，
又|

AF

|，|

BF

|，|

DF

|成等差數列
∴x₁+x₃=2x₂，
∵直線AD的斜率k_AD=

4

y1+y3

∴AD的中垂線方程為y=-

y1+y3

4

（x-3）
又AD的中點（

x1+x3

2

，

y1+y3

2

）在直線上，代入上式，得

x1+x3

2

=1，
∴x₂=1
故所求點B的坐標為（1，±2）．

點評：本題考查求軌跡方程，考查向量知識的運用，考查數列知識，解題的關鍵是用好向量，挖掘隱含，屬于中檔題．