分析 (1)把圓C的方程化為標準方程,寫出圓心和半徑;
(2)設出直線l的方程,與圓C的方程組成方程組,消去y得關于x的一元二次方程,由根與系數(shù)的關系求出$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的值;
(3)解法一:設出直線m的方程,由圓心C到直線m的距離,寫出△CDE的面積,利用基本不等式求出最大值,從而求出對應直線方程;
解法二:利用幾何法得出CD⊥CE時△CDE的面積最大,再利用點到直線的距離求出對應直線m的方程.
解答 解:(1)圓C:x2+y2+2x-3=0,配方得(x+1)2+y2=4,
則圓心C的坐標為(-1,0),圓的半徑長為2;
(2)設直線l的方程為y=kx,
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}+2x-3=0\\ y=kx\end{array}\right.$,
消去y得(1+k2)x2+2x-3=0,
則有:${x_1}+{x_2}=-\frac{2}{{1+{k^2}}},{x_1}{x_2}=-\frac{3}{{1+{k^2}}}$;
所以$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{2}{3}$為定值;
(3)解法一:設直線m的方程為y=kx+b,則圓心C到直線m的距離$d=\frac{|b-1|}{{\sqrt{2}}}$,
所以$|DE|=2\sqrt{{R^2}-{d^2}}=2\sqrt{4-{d^2}}$,
${S_{△CDE}}=\frac{1}{2}|DE|•d=\sqrt{4-{d^2}}•d$≤$\frac{{(4-{d^2})+{d^2}}}{2}=2$,
當且僅當$d=\sqrt{4-{d^2}}$,即$d=\sqrt{2}$時,△CDE的面積最大,
從而$\frac{|b-1|}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$,解之得b=3或b=-1,
故所求直線方程為x-y+3=0或x-y-1=0.
解法二:由(1)知|CD|=|CE|=R=2,
所以${S_{△CDE}}=\frac{1}{2}|CD|•|CE|•sin∠DCE=2sin∠DCE$≤2,
當且僅當CD⊥CE時,△CDE的面積最大,此時$|DE|=2\sqrt{2}$;
設直線m的方程為y=x+b,則圓心C到直線m的距離$d=\frac{|b-1|}{{\sqrt{2}}}$,
由$|DE|=2\sqrt{{R^2}-{d^2}}=2\sqrt{4-{d^2}}=2\sqrt{2}$,得$d=\sqrt{2}$,
由$\frac{|b-1|}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$,得b=3或b=-1,
故所求直線方程為x-y+3=0或x-y-1=0.
點評 本題考查了直線與圓的方程的應用問題,也考查了點到直線的距離以及方程組的應用問題,考查了轉化思想以及根與系數(shù)的應用問題,是綜合性題目.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
ξ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
P | $\frac{1}{12}$ | $\frac{3}{12}$ | $\frac{4}{12}$ | $\frac{1}{12}$ | $\frac{2}{12}$ | $\frac{1}{12}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (-1,3) | B. | (-$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$) | C. | (-$\frac{1}{5}$,$\frac{3}{5}$) | D. | (-$\frac{1}{7}$,$\frac{3}{7}$) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 數(shù)陣中第一列的數(shù)全是0當且僅當A1=∅ | |
B. | 數(shù)陣中第n列的數(shù)全是1當且僅當An=S | |
C. | 數(shù)陣中第j行的數(shù)字和表明集合Aj含有幾個元素 | |
D. | 數(shù)陣中所有的n2個數(shù)字之和不超過n2-n+1 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\sqrt{3}$ | B. | $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ | C. | 2$\sqrt{3}$ | D. | 3$\sqrt{3}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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