Question

某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開(kāi)發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得10萬(wàn)元~1 000萬(wàn)元的投資收益，現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金y(單位：萬(wàn)元)隨投資收益x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過(guò)9萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的20%，
(Ⅰ)若建立函數(shù)模型制定獎(jiǎng)勵(lì)方案，試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型的基本要求；
(Ⅱ)現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型：(1)y=+2；(2)y=4lgx-3．試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司要求？

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y=f(x)，
則公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求：當(dāng)x∈[10，1 000]時(shí)，①f(x)是增函數(shù)；②f(x)≤9恒成立；
③恒成立；
(Ⅱ)(1)對(duì)于函數(shù)模型：
當(dāng)x∈[10，1 000]時(shí)，f(x)是增函數(shù)，
則f(x)_max=f(1000)=，所以f(x)≤9恒成立，
因?yàn)楹瘮?shù)在[10，1000]上是減函數(shù)，
所以，從而不恒成立，即不恒成立，
故該函數(shù)模型不符合公司要求；
(2)對(duì)于函數(shù)模型f(x)=4lgx-3：
當(dāng)x∈[10，1 000]時(shí)，f(x)是增函數(shù)，
則f(x)_max=f(1000)=4lg1000-3=9，所以f(x)≤9恒成立．
設(shè)，則g′(x)=，
當(dāng)x≥10時(shí)，g′(x)=，
所以g(x)在[10，1 000]上是減函數(shù)，
從而g(x)≤g(10)=-1＜0，
所以，即，
所以恒成立，故該函數(shù)模型符合公司要求。