Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=-a_n-（）^n-1+2（n為正整數(shù)）．
（1）令b_n=2ⁿa_n，求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令c_n=a_n，若T_n=c₁+c₂+…+c_n，求T_n．

Answer 1

解：（1）在S_n=-a_n-（）^n-1+2中令n=1可得s₁=-a₁-1+2=a₁即a₁=
當n≥2時a_n=S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1+
∴2a_n=a_n-1+即
∵b_n=2ⁿa_n，
∴b_n-b_n-1=1即當n≥2時b_n-b_n-1=1
又∵b₁=2a₁=1
∴數(shù)列{b_n}是首項和公差均為1的等差數(shù)列．
∴
∴
（2）由（1）得，
∴…+（n+1） ①
=2×+3×+4×+…+（n+1） ②
由①-②得=1+++…+-（n+1）=-
∴T_n=3-
分析：（1）根據(jù)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=-a_n-（）^n-1+2（n為正整數(shù)）利用得出再利用b_n=2ⁿa_n，可得當n≥2時b_n-b_n-1=1即得出數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，進而可求出b_n然后求出a_n．
（2）由（1）可求出再結(jié)合其表達式的特征知可用錯位相減法求T_n．
點評：本題主要考查了數(shù)列通項公式的求解和數(shù)列的求和，屬�？碱}，較難．解題的關(guān)鍵是公式以及錯位相減法求和的應用!