(2012•黑龍江)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-2.
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若a=1,k為整數(shù),且當(dāng)x>0時,(x-k) f′(x)+x+1>0,求k的最大值.
分析:(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由于函數(shù)中含有字母a,故應(yīng)按a的取值范圍進(jìn)行分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性,給出單調(diào)區(qū)間;
(II)由題設(shè)條件結(jié)合(I),將不等式,(x-k) f?(x)+x+1>0在x>0時成立轉(zhuǎn)化為k<
x+1
ex-1
+x
(x>0)成立,由此問題轉(zhuǎn)化為求g(x)=
x+1
ex-1
+x
在x>0上的最小值問題,求導(dǎo),確定出函數(shù)的最小值,即可得出k的最大值;
解答:解:(I)函數(shù)f(x)=ex-ax-2的定義域是R,f′(x)=ex-a,
若a≤0,則f′(x)=ex-a≥0,所以函數(shù)f(x)=ex-ax-2在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.
若a>0,則當(dāng)x∈(-∞,lna)時,f′(x)=ex-a<0;當(dāng)x∈(lna,+∞)時,f′(x)=ex-a>0;所以,f(x)在(-∞,lna)單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增.
(II)由于a=1,所以,(x-k) f?(x)+x+1=(x-k) (ex-1)+x+1
故當(dāng)x>0時,(x-k) f?(x)+x+1>0等價于k<
x+1
ex-1
+x
(x>0)①
令g(x)=
x+1
ex-1
+x
,則g′(x)=
-xex-1
(ex-1)2
+1=
ex(ex-x-2)
(ex-1)2

由(I)知,函數(shù)h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上單調(diào)遞增,而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上存在唯一的零點,故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零點,設(shè)此零點為α,則有α∈(1,2)
當(dāng)x∈(0,α)時,g′(x)<0;當(dāng)x∈(α,+∞)時,g′(x)>0;所以g(x)在(0,+∞)上的最小值為g(α).又由g′(α)=0,可得eα=α+2所以g(α)=α+1∈(2,3)
由于①式等價于k<g(α),故整數(shù)k的最大值為2
點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,解題的關(guān)鍵是第一小題應(yīng)用分類的討論的方法,第二小題將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題,本題考查了轉(zhuǎn)化的思想,分類討論的思想,考查計算能力及推理判斷的能力,綜合性強(qiáng),是高考的重點題型,難度大,計算量也大,極易出錯.
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π
4
)
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π
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a
,
b
夾角為45°,且|
a
|=1,|2
a
-
b
|=
10
,則|
b
|
=
3
2
3
2

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