Question

已知函數f（x）=

3

sin2ωx+sinωxcosωx-

3

2

（x∈R，ω∈R）的最小正周期為π，且f(

π

6

)＜0．
（I）求f（x）在[0，

π

2

]上的值域；
（II）在△ABC中，若A＜B，且f（-A）=f（-B）=

1

2

；求

BC

AB

的值．

Answer 1

分析：（I）把函數f（x）的解析式第一項利用二倍角的余弦函數公式化簡，第二項利用二倍角的正弦函數公式化簡，整理后再利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由已知的周期，利用周期公式求出ω的值，進而確定出函數解析式，由x的范圍，得到這個角的范圍，可得此時正弦函數的值域，即可得到函數的值域；
（II）令第一問化簡得到的函數解析式等于

1

2

，利用特殊角的三角函數值及A與B的關系，得出A與B的度數，可得出C的度數，由sinA，sinC的值，利用正弦定理即可求出所求式子的值．

解答：解：（I）f（x）=

3

sin2ωx+sinωxcosωx-

3

2

=

3

2

（1-cos2ωx）+

1

2

sin2ωx-

3

2

=

1

2

sin2ωx-

3

2

cos2ωx
=sin（2ωx-

π

3

），
又函數f（x）的最小正周期為π，
∴

2π

|2ω|

=π，∴|ω|=1，
又f（

π

6

）=sin（

ωπ

3

-

π

3

）＜0，
∴ω=-1，
∴f（x）=sin（-2x-

π

3

）=-sin（2x+

π

3

），
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
則f（x）的值域為[-1，

3

2

]；
（II）由f（x）=sin（-2x-

π

3

）=

1

2

，得到-2x-

π

3

=

π

6

或

5π

6

，
解得：x=

π

4

或x=

7π

12

，
又△ABC中，若A＜B，
∴A=

π

4

，B=

7π

12

，
∴C=

π

6

，
由正弦定理

BC

sinA

=

AB

sinC

得：

BC

AB

=

sinA

sinC

=

2 2

1 2

=

2

．

點評：此題考查了三角函數的周期性及其求法，正弦定理，二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．