Question

已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）．
（1）若k=0，求不等式f（x）＞

1

2

的解集；
（2）若f（x）為偶函數(shù)，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的單調(diào)性解對(duì)數(shù)不等式；
（2）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求常數(shù)k．

解答： 解：（1）f(x)=log4(4x+1)，∵log4(4x+1)＞

1

2

?4x+1＞2，∴x＞0，即不等式的解集為（0，+∞）．   …（6分）
（2）由于f（x）為偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，
∴2kx=log4(4-x+1)-log4(4x+1)=log4

4-x+1

4x+1

=-x對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，
所以k=-

1

2

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性，解題時(shí)注意真數(shù)要大于零．