Question

【題目】如圖，正方體的棱長為1，有下列四個命題：

①與平面所成角為；

②三棱錐與三棱錐的體積比為；

③過點作平面，使得棱，，在平面上的正投影的長度相等，則這樣的平面有且僅有一個；

④過作正方體的截面，設截面面積為，則的最小值為.

上述四個命題中，正確命題的序號為______.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根據(jù)線面角的求解方法，棱錐體積的求解，正方體截面的相關性質，對選項進行逐一分析即可求得.

對①：連接交與，連接，作圖如下：

因為是正方體，故可得平面，

又因為平面，故可得，又，

故可得平面，則即為所求線面角.

在中，，

故可得，又線面角的范圍為，

故，則與平面所成角為，

故①正確；

對②：因為正方體棱長為1，

故可得；

而棱錐的體積可以理解為

正方體的體積減去4個體積都和相等的三棱錐的體積，

故.

故棱錐與三棱錐的體積比為，

故②正確；

對③：若棱在平面的同側，則為過點且與平面平行的平面；

若棱中有一條棱與另外兩條棱分別在平面的異側，則這樣的平面有3個；

故滿足題意的平面有4個.

故③錯誤；

對④：根據(jù)題意，取中點為,則過作正方體的截面如下：

則過的所有截面中，當截面為菱形時，面積最小，

其面積為.

故④正確.

總上所述，正確的有①②④.