Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1= ， ∠ABC=60°．
（1）證明：AB⊥A1C；
（2）求二面角A﹣A1C﹣B的大小．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，∴AB⊥AA1 ，
在△ABC中，AB=1，AC=，∠ABC=60°，由正弦定理得∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC，
∴AB⊥平面ACC1A1 ，
又A1C平面ACC1A1 ，
∴AB⊥A1C．
（2）解：如圖，作AD⊥A1C交A1C于D點(diǎn)，連接BD，
由三垂線定理知BD⊥A1C，
∴∠ADB為二面角A﹣A1C﹣B的平面角．
在Rt△AA1C中，AD=，
在Rt△BAD中，tan∠ADB==，
∴cos∠ADB=，
即二面角A﹣A1C﹣B的大小為arccos．

【解析】（1）欲證AB⊥A1C，而A1C平面ACC1A1 ， 可先證AB⊥平面ACC1A1 ， 根據(jù)三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，可知AB⊥AA1 ， 由正弦定理得AB⊥AC，滿足線面垂直的判定定理所需條件；
（2）作AD⊥A1C交A1C于D點(diǎn)，連接BD，由三垂線定理知BD⊥A1C，則∠ADB為二面角A﹣A1C﹣B的平面角，在Rt△BAD中，求出二面角A﹣A1C﹣B的余弦值即可．