Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），經(jīng)過點（1，e），其中e為橢圓的離心率，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的兩焦點，M為橢圓短軸端點且△MF₁F₂為直角三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)不經(jīng)過原點的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，第一象限內(nèi)的點P（1，m）在橢圓上，直線OP平分線段AB，且|AB|=

3 2

2

，求：直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

1 a2 + e2 b2 =1 e= c a a2=b2+c2 b=c

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由（1）得P（1，

2

2

），設(shè)不過原點的直線l的方程為y=kx+t（t≠0），交橢圓C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

x2 2 +y2=1 y=kx+t

，得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），經(jīng)過點（1，e），其中e為橢圓的離心率，
M為橢圓短軸端點且△MF₁F₂為直角直角三角形．
∴

1 a2 + e2 b2 =1 e= c a a2=b2+c2 b=c

，解得b=c=1，a=

2

，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）由（1）得橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1，
∵第一象限內(nèi)的點P（1，m）在橢圓上，∴P（1，

2

2

）
由題意，當直線l垂直x軸時，不合題意，
設(shè)不過原點的直線l的方程為y=kx+t（t≠0），
交橢圓C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

x2 2 +y2=1 y=kx+t

，得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
△=（4kt）²-4（1+2k²）（2t²-2）=16k²-8t²+8＞0，
x1+x2=-

4kt

1+2k2

，y1+y2=k(x1+x2)+2t=

2t

1+2k2

，
x1x2=

2t2-2

1+2k2

，
直線OP方程為y=

2

2

x，且OP直線過線段AB中點，
∴

2t

1+2k2

=

2

2

×

-4kt

1+2k2

，解得k=-

2

2

，
∴|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

(1+k2)(4-2t2)

=

3 2 (4-2t2)

，
由題意|AB|=

3 2

2

，
解得t=±

2

2

．
由△＞0，得t²＜2，
∴t=±

2

2

符合題意，
∴直線l的方程y=-

2

2

x-

2

2

或y=-

2

2

x+

2

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、弦長公式的合理運用．