Question

在以O為原點的直角坐標系中，點A（4，-3）為△OAB的直角頂點，已知|AB|=2|OA|，且點B的縱坐標大于0．
（Ⅰ）求的坐標；
（Ⅱ）求圓x²-6x+y²+2y=0關于直線OB對稱的圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出要求的向量的坐標，根據(jù)所給的模長的關系和直角三角形兩條直角邊垂直的關系，寫出關于向量坐標的關系式，解方程，舍去不合題意的結(jié)果，得到向量的坐標．
（2）要求圓關于直線的對稱圓，只要求出圓心關于直線的對稱點即可，本題需要先根據(jù)向量的坐標求出點B的坐標，從而求出直線的方程，通過計算得到結(jié)果．
解答：解：（1）設 ，
則由||=2||，=0
即
得 ，或 ．
∵，
∴v-3＞0，
得v=8，
∴={6，8}；
（2）由 ={10，5}，得B（10，5），
于是直線OB方程：．
由條件可知圓的標準方程為：（x-3）²+（y+1）²=10，
得圓心（3，-1），半徑為 ．
設圓心（3，-1）關于直線OB的對稱點為（x，y）
則 ，
得 ，
∴所求圓的方程為（x-1）²+（y-3）²=10．
點評：本題是近幾年高考常考的問題，向量是數(shù)形結(jié)合的典型例子，向量的加減運算是用向量解決問題的基礎，要學好運算，才能用向量解決立體幾何問題，三角函數(shù)問題，好多問題都是以向量為載體的．