f(x)是定義在D上的函數(shù),若存在區(qū)間[m,n]⊆D,使函數(shù)f(x) 在[m,n]上的值域恰為[km,kn],則稱函數(shù)f(x) 是k型函數(shù).給出下列說法:
①f(x)=3+
4
x
是1型函數(shù);
②若函數(shù)y=-
1
2
x2+x是3型函數(shù),則m=-4,n=0;
③函數(shù)f(x)=x2-3x+4是2型函數(shù);
④若函數(shù)y=
(a2+a)x-1
a2x
(a≠0)是1型函數(shù),則n-m的最大值為
2
3
3

則以上說法正確的個數(shù)是(  )
A、1B、2C、3D、4
考點:函數(shù)的值域
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:根據(jù)題意中信息題型的特點,逐步對每個命題進行分析,然后對應(yīng)信息求出是否與信息相沖突,最后根據(jù)各個函數(shù)求出結(jié)果,確定結(jié)論.
解答: 解:由題意知k>0.當(dāng)存在直線y=kx與曲線y=f(x)至少有兩個交點時,函數(shù)就是k型函數(shù).
①:由3+
4
x
=x

解得:x=-1或4
f(x)在x∈[-1,0)∪(0,4]上的值域是:
f(x)∈(-∞,-1]∪[4,+∞)
故不是1型函數(shù);
②:若函數(shù)y=-
1
2
x2+x
是3型函數(shù),則-
1
2
x2+x=3x

解得:x1=-4,x2=0,
即m=-4,n=0
故②對;
③:由x2-3x+4=2x得到x2-5x+4=0,△>0有兩解,
故③對;
④:若函數(shù)y=
(a2+a)x-1
a2x
(a≠0)
是1型函數(shù),則
(a2+a)x-1
a2x
=x
有兩個不同的解,即a2x2-(a2+a)x+1=0有兩個不同的解m和n.由△>0得:a<-3或a>1,
所以n-m=
(a2+a)2-4a2
a2
=
-
3
a2
+
2
a
+1
4
3
=
2
3
3
(當(dāng)a=3時取等號),所以n-m的最大值為;
故④對.
故選:C
點評:本題考查的知識要點:信息題型在函數(shù)中的應(yīng)用,主要考查學(xué)生多信息的應(yīng)用和感知能力,及相關(guān)的運算能力.屬于中等題型.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)集合M={-1,0,1},N={a,a2},已知M∩N≠∅,則實數(shù)a=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

由直線y=x上一點向圓(x-4)2+y2=1引切線,則切線長的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知m,n表示兩條不同直線,α表示平面,下列說法正確的是( 。
A、若m∥α,n∥α,則m∥n
B、若m⊥α,m⊥n,則n∥α
C、若m⊥α,n?α,則m⊥n
D、若m∥α,m⊥n,則n⊥α

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,己知AC=3,∠A=45°,點D滿足
CD
=2
DB
,且AD=
13
,則BC的長為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

寫出通項:
-
1
2
,
5
7
,-
4
5
,
11
13
,-
7
8
,…

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
a
2
x2
+bx-lnx,其中a,b∈R.
(Ⅰ)設(shè)曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=2x-3,求實數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)當(dāng)a≥0時,討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過點P(2,1)的直線l與x軸、y軸正方向交于點A、B,分別根據(jù)以下條件求直線l的方程:
(1)直線l與x軸、y軸圍成等腰三角形;
(2)點P是AB的中點;
(3)S△AOB=6(O為坐標(biāo)原點);
(4)|OA|+|OB|最。∣為坐標(biāo)原點).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求證:
1+sinx
cosx
=tan(
π
4
+
x
2

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