Question

各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，若a₁≥1，a₂≤2，a₃≥3，則a₄的取值范圍是________．

Answer 1

分析：根據(jù)題中的不等式組，聯(lián)想到運(yùn)用線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí)解決問(wèn)題．因此，將所得的不等式的兩邊都取常用對(duì)數(shù)，得到關(guān)于lga₁和lgq的一次不等式組，換元：令lga₁=x，lgq=y，lga₄=t，得到關(guān)于x、y的二次一次不等式組，再利用直線(xiàn)平移法進(jìn)行觀察，即可得到a₄的取值范圍．
解答：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)題意得：，
∴各不式的兩邊取常用對(duì)數(shù)，得
令lga₁=x，lgq=y，lga₄=t
將不等式組化為：，
作出以上不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部
其中A（0，lg2），B（2lg2-lg3，lg3-lg2），C（0，lg3）
將直線(xiàn)l：t=x+3y進(jìn)行平移，可得
當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，t=3lg2取得最大值；當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，t=-lg2+2lg3取得最小值
∴t=lga₄∈[-lg2+2lg3，3lg2]，即lga₄∈[lg，lg8]
由此可得a₄的取值范圍是
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題給出等比數(shù)列，在已知a₁≥1，a₂≤2，a₃≥3的情況下求a₄的取值范圍．著重考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．