Question

18．在直角坐標系中，直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosa\\ y=1+tsina\end{array}$（t為參數(shù)，0≤a＜π），在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知點P（2，1），若直線l與曲線C交于A，B兩點，且$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，求tana．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C：ρ=4cosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ代入即可化為直角坐標方程．
（II）把直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosa\\ y=1+tsina\end{array}$（t為參數(shù)，0≤a＜π）代入曲線C的直角坐標方程可得：t²+2tsina-3=0，由$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，可得t₁=-2t₂．再利用根與系數(shù)的關(guān)系及其三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）C：ρ=4cosθ，得到C：ρ²=4ρcosθ，
因為$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$，則曲線C的直角坐標方程為x²+y²-4x=0．
（Ⅱ）將$l：\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosa\\ y=1+tsina\end{array}\right.$代入x²+y²-4x=0，得到t²+2tsina-3=0．
$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=-2sina\\{t_1}•{t_2}=-3\end{array}\right.$，
又因為$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，則t₁=-2t₂，
所以$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=-2sina\\{t_1}•{t_2}=-3\\{t_1}=-2{t_2}\end{array}\right.$．
解得：$sina=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，$cosa=\frac{{\sqrt{10}}}{4}$或$cosa=-\frac{{\sqrt{10}}}{4}$，則$tana=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$或$tana=-\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．

點評 本題考查了直角坐標與極坐標的互化、三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．