Question

8．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx在x=-$\frac{2}{3}$與x=1處都取得極值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，3]的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的函數(shù)的解析式，對函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)等于0，得到關(guān)于a，b的關(guān)系式，解方程組即可，寫出函數(shù)的解析式．
（2）對函數(shù)求導(dǎo)，寫出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0的x的值，列表表示出在各個區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)的情況，做出極值，把極值同端點處的值進(jìn)行比較得到結(jié)果．

解答 解：（1）f（x）=x³+ax²+bx，f′（x）=3x²+2ax+b，
由f′（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{12}{9}$-$\frac{4}{3}$a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0，
得a=-$\frac{1}{2}$，b=-2，
經(jīng)檢驗，a=$\frac{1}{2}$，b=-2符合題意，
所以，所求的函數(shù)解析式為f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x；
（2）由（1）得f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
列表

x	（-2，-$\frac{2}{3}$）	-$\frac{2}{3}$	（-$\frac{2}{3}$，1）	1	（1，3）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

且f（-2）=-6，f（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{22}{27}$，f（1）=-$\frac{3}{2}$，f（0）=0，f（3）=$\frac{33}{2}$，f（-2）=-6，
所以當(dāng)x∈[-2，2]時，f（x）_max=f（3）=$\frac{33}{2}$，f（x）_min=f（-2）=-6．

點評 本題考查函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是寫出函數(shù)的極值和函數(shù)在兩個端點處的值，把這些值進(jìn)行比較，得到最大值和最小值．