Question

【題目】某地政府決定建造一批保障房供給社會，緩解貧困人口的住房問題，計劃用1 600萬元購得一塊土地，在該土地上建造10幢樓房的住宅小區(qū)，每幢樓的樓層數(shù)相同，且每層建筑面積均為1 000平方米，每平方米的建筑費用與樓層有關，第x層樓房每平方米的建筑費用為(kx＋800)元(其中k為常數(shù))．經(jīng)測算，若每幢樓為5層，則該小區(qū)每平方米的平均綜合費用為1 270元．

注：每平方米平均綜合費用＝.

(1) 求k的值；

(2) 問要使該小區(qū)樓房每平方米的平均綜合費用最低，應將這10幢樓房建成多少層？此時每平方米的平均綜合費用為多少元？

Answer 1

【答案】（1）k＝50；（2）故該小區(qū)每幢建8層時，每平方米平均綜合費用最低，此時每平方米平均綜合費用為1 225元.

【解析】試題分析：（1）求出每幢樓為5層時的所有建筑面積，算出所有建筑費，直接由每平方米平均綜合費用=購地費用+所有建筑費用/所有建筑面積，列式求出k的值；
（2）設小區(qū)每幢為n（n∈N*）層時，每平方米平均綜合費用為f(n)，同樣利用題目給出的每平方米平均綜合費用的關系式列出f(n)的表達式，然后利用基本不等式求出f(n)的最小值，并求出層數(shù)．

試題解析：

(1) 如果每幢樓為5層，那么所有建筑面積為10×1 000×5平方米，所有建筑費用為[(k＋800)＋(2k＋800)＋(3k＋800)＋(4k＋800)＋(5k＋800)]×1 000×10，

所以1 270＝{16 000 000＋[(k＋800)＋(2k＋800)＋(3k＋800)＋(4k＋800)＋(5k＋800)]×1 000×10}÷(10×1 000×5)，

解得k＝50.

(2) 設小區(qū)每幢為n(n∈N*)層時，每平方米平均綜合費用為f(n)，由題設可知

f(n)＝{16 000 000＋[(50＋800)＋(100＋800)＋…＋(50n＋800)]×1 000×10}÷(10×1 000×n)＝＋25n＋825≥2＋825＝1 225，

當且僅當＝25n，即n＝8時，等號成立．

故該小區(qū)每幢建8層時，每平方米平均綜合費用最低，此時每平方米平均綜合費用為1 225元．