Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足2S_n²=2a_nS_n-a_n（n≥2）且a₁=2，求a_n和S_n．

Answer 1

分析：在數(shù)列{a_n}中，S_n=a₁+a₂+…+a_n；當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1．將n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1．代入題干關(guān)系式，化為數(shù)列{S_n}的遞推公式，應(yīng)通過(guò)構(gòu)造新數(shù)列，求出數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式，再求a_n．

解答：解：∵2S_n²=2a_nS_n-a_n（n≥2），
∴2S_n²=2（S_n-S_n-1）S_n-（S_n-S_n-1）．
計(jì)算化簡(jiǎn)得，S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，兩邊同除以S_nS_n-1，
得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，（n≥2），
∴數(shù)列{

1

Sn

}是以2為公差的等差數(shù)列，首項(xiàng)

1

S1

=

1

a1

=

1

2

，
∴數(shù)列{

1

Sn

}的通項(xiàng)公式為

1

Sn

=

1

2

+2（n-1）=

4n-3

2

，
∴S_n=

2

4n-3

，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

2

4n-3

-

2

4(n-1)-3

=-

8

(4n-3)(4n-7)

，
所以a_n=

2，n=1 - 8 (4n-3)(4n-7) ，n≥2

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推公式和通項(xiàng)公式，數(shù)列求和．關(guān)鍵是利用了當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1進(jìn)行變形構(gòu)造．