Question

7．已知拋物線(xiàn)C：x²=4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線(xiàn)PF與拋物線(xiàn)C的一個(gè)交點(diǎn)，若$\overrightarrow{PF}$=4$\overrightarrow{QF}$，則|QF|=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程，設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，得到向量PF，F(xiàn)Q的坐標(biāo)，由向量共線(xiàn)的坐標(biāo)關(guān)系，以及拋物線(xiàn)的定義，即可求得．

解答 解：拋物線(xiàn)C：x²=4y的焦點(diǎn)為F（0，1），準(zhǔn)線(xiàn)為l：y=-1，
設(shè)P（a，-1），Q（m，$\frac{{m}^{2}}{4}$），
則$\overrightarrow{PF}$=（-a，2），$\overrightarrow{QF}$=（-m，-$\frac{{m}^{2}}{4}$+1），
∵$\overrightarrow{PF}$=4$\overrightarrow{QF}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a=-4m}\\{2=4（-\frac{{m}^{2}}{4}+1）}\end{array}\right.$，解得m²=2，
由拋物線(xiàn)的定義可得
|QF|=$\sqrt{（-m）^{2}+（-\frac{{m}^{2}}{4}+1）^{2}}$=$\sqrt{2+\frac{1}{4}}$=$\frac{3}{2}$．
故選：$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的定義和性質(zhì)，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．