Question

6．《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．問何日相逢，各穿幾何？題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻，大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半”，如果墻厚$64\frac{31}{32}$，6天后兩只老鼠打穿城墻．

Answer 1

分析 由題意，n天后兩只老鼠打洞之和：S_n=$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{1×（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=${2}^{n}-\frac{1}{{2}^{n-1}}+1$，由墻厚$64\frac{31}{32}$，能求出結(jié)果．

解答 解：由題意，n天后兩只老鼠打洞之和：
S_n=$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{1×（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=${2}^{n}-1+2-\frac{1}{{2}^{n-1}}$=${2}^{n}-\frac{1}{{2}^{n-1}}+1$，
∵墻厚$64\frac{31}{32}$，
∴S_n=${2}^{n}-\frac{1}{{2}^{n-1}}+1$=$64\frac{31}{32}$，
解得n=6．
故答案為：6．

點評 本題考查等比數(shù)列的前n項和的求法及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．