Question

17．如圖，P是直線x=4上一動點，以P為圓心的圓Γ經定點B（1，0），直線l是圓Γ在點B處的切線，過A（-1，0）作圓Γ的兩條切線分別與l交于E，F兩點．
（1）求證：|EA|+|EB|為定值；
（2）設直線l交直線x=4于點Q，證明：|EB|•|FQ|=|BF•|EQ|．

Answer 1

分析 （1）設AE切圓于M，直線x=4與x軸的交點為N，則EM=EB，可得|EA|+|EB|=|AM|=$\sqrt{A{P}^{2}-P{M}^{2}}$=$\sqrt{A{P}^{2}-P{B}^{2}}$=$\sqrt{A{N}^{2}-B{N}^{2}}$=4；
（2）確定E，F均在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1上，設直線EF的方程為x=my+1（m≠0），聯立，E，B，F，Q在同一條直線上，|EB|•|FQ|=|BF•|EQ|等價于-y₁•$\frac{3}{m}$+y₁y₂=y₂•$\frac{3}{m}$-y₁y₂，利用韋達定理，即可證明結論．

解答 證明：（1）設AE切圓于M，直線x=4與x軸的交點為N，則EM=EB，
∴|EA|+|EB|=|AM|=$\sqrt{A{P}^{2}-P{M}^{2}}$=$\sqrt{A{P}^{2}-P{B}^{2}}$=$\sqrt{A{N}^{2}-B{N}^{2}}$=4為定值；
（2）同理|FA|+|FB|=4，
∴E，F均在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1上，
設直線EF的方程為x=my+1（m≠0），令x=4，y_Q=$\frac{3}{m}$，
直線與橢圓方程聯立得（3m²+4）y²+6my-9=0，
設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），則y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$
∵E，B，F，Q在同一條直線上，
∴|EB|•|FQ|=|BF•|EQ|等價于-y₁•$\frac{3}{m}$+y₁y₂=y₂•$\frac{3}{m}$-y₁y₂，
∴2y₁y₂=（y₁+y₂）•$\frac{3}{m}$，
代入y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$成立，
∴|EB|•|FQ|=|BF•|EQ|．

點評 本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．