Question

5．已知直線x=2與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的漸近線交于E₁、E₂兩點(diǎn)，記$\overrightarrow{O{E}_{1}}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{O{E}_{2}}$=$\overrightarrow{{e}_{2}}$，任取雙曲線C上的點(diǎn)P，若$\overrightarrow{OP}$=a$\overrightarrow{{e}_{1}}$+b$\overrightarrow{{e}_{2}}$（a，b∈R），則（　�。�

• A． 0＜a²+b²＜1
• B． 0＜a²+b²＜$\frac{1}{2}$
• C． a²+b²≥1
• D． a²+b²≥$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的坐標(biāo)，得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程得出ab=$\frac{1}{4}$，根據(jù)基本不等式得出a²+b²的范圍．

解答 解：雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x，∴E₁（2，1），E₂（2，-1）．
∵$\overrightarrow{OP}$=a$\overrightarrow{{e}_{1}}$+b$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（2a+2b，a-b），
∴P（2a+2b，a-b），
∴（a+b）²-（a-b）²=1，∴4ab=1，即ab=$\frac{1}{4}$．
∴a²+b²≥2ab=$\frac{1}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．