Question

17．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F（-3，0），P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，橢圓內(nèi)部點(diǎn)M（-1，3）滿足PF+PM的最大值為17，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)右焦點(diǎn)為Q，求得Q（3，0），運(yùn)用橢圓的定義可得即|PF|=2a-|PQ|，則|PM|+|PF|=2a+（|PM|-|PQ|）≤2a+|MQ|，當(dāng)P，M，Q三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，解得a=6，運(yùn)用離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)右焦點(diǎn)為Q，
由F（-3，0），可得Q（3，0），
由橢圓的定義可得|PF|+|PQ|=2a，
即|PF|=2a-|PQ|，
則|PM|+|PF|=2a+（|PM|-|PQ|）≤2a+|MQ|，
當(dāng)P，M，Q共線時(shí)，取得等號，即最大值2a+|MQ|，
由|MQ|=$\sqrt{（-1-3）^{2}+{3}^{2}}$=5，可得2a+5=17，
所以a=6，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要是離心率的求法，注意運(yùn)用定義法和三點(diǎn)共線取得最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．