如圖所示，在底面是正方形的四棱錐PABCD中，PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點．
（1）證明：PA∥平面BDE；
（2）求二面角B-DE-C的余弦值．
考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用
分析：（1）畫出圖形，結(jié)合圖形，連接AC，交BD于O，連OE，易證OE∥PA，即證PA∥平面BDE；
（2）以D為坐標原點，DA、DC、DP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
求出平面DEC的法向量
DA
，平面DBE的法向量
n
，利用法向量求出二面角B-DE-C的余弦值．
解答： 解：（1）證明：如圖所示，連接AC，交BD于O，連OE，
∵E是PC的中點，O是AC的中點，
∴OE∥PA； 
又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE；
（2）以D為坐標原點，DA、DC、DP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，
令PD=DC=1，則平面DEC的法向量是
DA
=（1，0，0），
設(shè)平面DBE的法向量為
n
=（x，y，z），
∵
n
⊥
DB
，
n
⊥
DE
，
且
DB
=（1，1，0），
DE
=（0，
1
2
，
1
2
）；
∴
1•x+1•y+0•z=0
0•x+
1
2
•y+
1
2
•z=0
，
得
n
=（1，-1，1）；
cos＜
DA
，
n
＞=
DA
•
n
|
DA
|×|
n
|
=
1×1-1×0+1×0
1×
3
=
3
3
，
由題意知二面角B-DE-C的平面角為銳角，
∴二面角B-DE-C的余弦值為
3
3
．
點評：本題考查了空間中的平行與垂直的應(yīng)用問題，也考查了空間直角坐標系以及空間向量的應(yīng)用問題，是中檔題目．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列兩集合表示同一集合的是（　　）
A、M={1，2}，N={（1，2）}
B、M={y=lgx2}，N={y=2lgx}
C、M={x|x+y=1}，N={y|x+y=1}
D、M={y|y=x2}，N={y|y=2x}

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，邊a、b、c對應(yīng)角A、B、C，且a、b、c成等比數(shù)列，B=
π
3
，則
1
tanA
+
1
tanC
=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標出的數(shù)據(jù)，可得這個幾何體的體積為（　�。�
A、4+4
3
B、4+4
5
C、
8
3
D、12

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列說法中：
①所有冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（1，1）和（0，0）；
②所有冪函數(shù)的圖象都不經(jīng)過第四象限；
③函數(shù)y=x0的圖象是一條直線；
④冪函數(shù)可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)，也可能既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；
正確說法的個數(shù)是（　�。�
A、0B、1C、2D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
e|lnx|，(0＜x≤5)
10-x，(x＞5)
，若f（a）=f（b）=f（c）（其中a＜b＜c），則abc的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

化簡：sin（2nπ+
2π
3
）•cos（nπ+
4π
3
）（n∈Z）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有一拋物線型拱橋，當水面離拱頂2米時，水面寬4米，則當水面下降1米后，水面寬度為（　�。�
A、9
B、4.5
C、
6
D、2
6

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l過點（-1，0），l與圓C：（x-1）2+y2=3相交于A、B兩點，則弦長|AB|≥2的概率為
 
．

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