Question

在一很直的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開，小船被風(fēng)刮跑，其方向與河岸成15°，速度為2.5 km/h，同時(shí)岸上一人，從同一地點(diǎn)開始追小船，已知他在岸上跑的速度為4 km/h，在水中游的速度為2 km/h,_____________.

（先在橫線上填上一個(gè)結(jié)論，然后再解答）

Answer 1

構(gòu)建問題：在一很直的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開，小船被風(fēng)刮跑，其方向與河岸成15°，速度為2.5 km/h，同時(shí)岸上一人，從同一起點(diǎn)開始追小船，已知他在岸上跑的速度為4 km/h，在水中游的速度為2 km/h，問此人能否追上小船？若小船速度改變，則小船能被人追上的最大速度是多少？

解析：如果我們簡(jiǎn)單畫出此追及情況的示意圖（如圖），設(shè)船速度為v,人追上船所用的時(shí)間為t，人在岸上跑的時(shí)間為人要追上船時(shí)間的k倍，則人船運(yùn)動(dòng)路線滿足下圖所示的三角形.

∵|OA|=4kt,|AB|=2(1-k)t,|OB|=vt,在△OAB中，由余弦定理，得|AB|²=|OA|²+|OB|²- 2|OA|·|OB|·cos15°,即4(1-k)²t²=(4kt)²+(vt)²-2.4ktv·tcos15°，整理得12k²-［2+v-8］k+v²-4=0.                                                                     ①

    要使①式在0＜k＜1范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)解，當(dāng)0≤v≤2時(shí)，這人不必在岸上跑，應(yīng)立即從同一地直接下水就可以追上小船；當(dāng)v≥4時(shí)，人不可能追上船的情況，這里考慮2＜v＜4.則有

解之，得2＜v≤2，即v_max=2 km/h.

當(dāng)船速在（2,2）內(nèi)時(shí)，人船運(yùn)動(dòng)的路線可以構(gòu)成三角形，即人能追上小船的最大速度為2 km/h,由此可見當(dāng)船的速度為2.5 km/h時(shí)，人可以追上小船.