Question

中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的焦距為2，兩準線間的距離為10．設(shè)A（5，0），過點A作直線l交橢圓C于P，Q兩點，過點P作x軸的垂線交橢圓C于另一點S．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證直線SQ過x軸上一定點B；
（3）若過點A作直線與橢圓C只有一個公共點D，求過B，D兩點，且以AD為切線的圓的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）依題意得：2c=2，

2a2

c

=10，求出a，c，b，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

AP

=t

AQ

，證明

SB

=t

BQ

，即可得出結(jié)論．
（3）設(shè)過點A的直線方程為：y=k（x-5），代入橢圓方程得（4+5k²）x²-50k²x+125k²-20=0．依題意得：△=（50k²）²-4（4+50k²）（125k²-20）=0，由此能求出過B，D兩點，且以AD為切線的圓的方程．

解答： （1）解：依題意得：2c=2，

2a2

c

=10，
∴c=1，a=

5

，
∴b²=4，
∴橢圓的標準方程為

x2

5

+

y2

4

=1．
（2）證明：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

AP

=t

AQ

，
∴x₁=-2t+3，x₂=

3t-2

t

∵

SB

=（1-x₁，y₁），

BQ

=（x₂-1，y₂），
設(shè)B（x，0），則x=

x1+tx2

1+t

=1，故直線SQ過x軸上一定點B（1，0）．
（3）解：設(shè)過點A的直線方程為：y=k（x-5），
代入橢圓方程

x2

5

+

y2

4

=1，
得（4+5k²）x²-50k²x+125k²-20=0（*）
依題意得：△=0，
即（50k²）²-4（4+50k²）（125k²-20）=0
得：k=±

5

5

，
且方程的根為x=1，
∴D（1，±

4 5

5

），
當(dāng)點D位于x軸上方時，過點D與AD垂直的直線與x軸交于點E，
直線DE的方程是：y-

4 5

5

=

5

（x-1），
∴E（

1

5

，0）．
所求圓即為以線段DE為直徑的圓，故方程為：（x-

3

5

）²+（y-

2 5

5

）²=

24

25

同理可得：當(dāng)點D位于x軸下方時，
圓的方程為：（x-

3

5

）²+（y+

2 5

5

）²=

24

25

．

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．