Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁=BB₁．
（1）求證：AB₁⊥BC₁；
（2）求二面角A-BC₁-C的正切值．

Answer 1

（1）證法一：如圖，取BC的中點M，
連接B₁M、BC₁交于N，則AM⊥面BC₁．
下證BC₁⊥B₁M．設(shè)BB₁=1，則AB₁=，AB=BC=，
∴tan∠B₁MB==tan∠B₁BC₁．
∴得△B₁MB∽△B₁BN．
∴∠B₁BM=90°=∠B₁NB，即BC₁⊥B₁M．
∴BC₁⊥斜線AB₁．
證法二：如圖，取B₁C₁和B₁B的中點E與D，
連接ED，則DE∥BC₁．再取AB的中點G，
連接DG，則DG∥AB₁，
∴∠GDE為異面直線AB₁、BC₁所成的角．
下用勾股定理證明∠GDE為直角．取A₁B₁的中點F，
連接EF、EG、FG，則EG=且DE、DG均可表示出．
故可知EG²=DE²+DG²，∴∠GDE=90°．
（2）解：連接AN，則∠ANM為所求二面角的平面角，tan∠ANM=3．
分析：（1）法一：取BC的中點M，連接B₁M、BC₁交于N，推出△B₁MB∽△B₁BN證明BC₁⊥B₁M，即可證明AB₁⊥BC₁；
法二：如圖，取B₁C₁和B₁B的中點E與D，連接ED，再取AB的中點G，說明∠GDE為異面直線AB₁、BC₁所成的角，
利用勾股定理證明垂直即可．
（2）連接AN，則∠ANM為所求二面角的平面角，直接求出二面角A-BC₁-C的正切值．
點評：本題（1）證法一中可把面BB₁C₁C單獨拿出作成平面圖形，則易于觀察△B₁MB與△B₁NB的相似關(guān)系．證法二的特點是思路較好．因為所證為兩異面直線，作出其所成角為一般方法．考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．