Question

5．關于函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}{cos^2}x+2sinxcosx-\sqrt{3}{sin^2}x$，有如下問題：
①$x=\frac{π}{12}$是f（x）的圖象的一條對稱軸；
②$?x∈R，f（{\frac{π}{3}+x}）=-f（{\frac{π}{3}-x}）$；
③將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位，可得到奇函數(shù)的圖象；
④?x₁，x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|≥4．
其中真命題的個數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用輔助角公式將函數(shù)f（x）化簡，結合三角函數(shù)的圖象及性質依次對各項進行判斷即可．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}{cos^2}x+2sinxcosx-\sqrt{3}{sin^2}x$，
化簡可得：f（x）=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
對于①：當x=$\frac{π}{12}$時，函數(shù)f（x）取得最大值2，∴x=$\frac{π}{12}$是其中一條對稱軸．故①對．
對于②：f（x+$\frac{π}{3}$）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$+$\frac{2π}{3}$）=-2sin2x，
-f（$\frac{π}{3}$-x）=-2sin（-2x+$\frac{π}{3}$+$\frac{2π}{3}$）=-2sin2x，
∴$?x∈R，f（{\frac{π}{3}+x}）=-f（{\frac{π}{3}-x}）$；故②對．
對于③將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位，可得2sin[2（x$-\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）不是奇函數(shù)，故③不對
④?x₁，x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|≥4．
f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），當x₁=$\frac{π}{6}$，${x}_{2}=-\frac{5π}{12}$時，|f（x₁）-f（x₂）|=4，存在x₁，x₂∈R使得|f（x₁）-f（x₂）|≥4，故④對．
∴真命題的個數(shù)是3．
故選：C．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．