分析 (1)觀察角度的關(guān)系發(fā)現(xiàn)2α-β=2(α-β)+β,求出tan2(α-β),然后利用兩角和的正切函數(shù)求出tan(2α-β),進而可求tanα的值.
(2)再根據(jù)tanα、tanβ的值確定α,β的具體范圍,進而確定2α-β的范圍,就可以根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出結(jié)果.
解答 (本題滿分為13分)
解:(1)∵2α-β=2(α-β)+β,…(2分)
又tan(α-β)=$\frac{1}{2}$,
∴tan2(α-β)=$\frac{2tan(α-β)}{1-ta{n}^{2}(α-β)}$=$\frac{4}{3}$.…(4分)
故tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]=$\frac{tan2(α-β)+tanβ}{1-tan2(α-β)tanβ}$=$\frac{\frac{4}{3}-\frac{1}{7}}{1+\frac{4}{3}×\frac{1}{7}}$=1.…(6分)
∴tanα=tan[(α-β)+β]=$\frac{tan(α-β)+tanβ}{1-tan(α-β)tanβ}$=$\frac{1}{3}$.…(7分)
(2)∵0<α<$\frac{π}{4}$,
∴0<2α<$\frac{π}{2}$. …(9分)
又∵tanβ=-$\frac{1}{7}$,且β∈(0,π)⇒β∈($\frac{π}{2}$,π)⇒-β∈(-π,-$\frac{π}{2}$). …(11分)
∴2α-β∈(-π,0).又由(1)可得tan(2α-β)=1,
∴2α-β=-$\frac{3π}{4}$. …(13分)
點評 此題考查學(xué)生靈活運用兩角和的正切函數(shù)公式化簡求值,做題時應(yīng)注意找角度的關(guān)系,屬于中檔題.
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A. | (-∞,1] | B. | [0,+∞) | C. | [-1,0] | D. | [0,1] |
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