Question

如圖，在三棱錐D－ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E為BC的中點，F在棱AC上，且AF＝3FC．

(1)求三棱錐D－ABC的表面積；

(2)求證AC⊥平面DEF；

(3)若M為BD的中點，問AC上是否存在一點N，使MN∥平面DEF？若存在，說明點N的位置；若不存在，試說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解(證明)(1)因為AB⊥平面BCD，所以AB⊥BC，AB⊥BD． 　　因為△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，所以AD＝AC＝． 　　設(shè)G為CD的中點，則CG＝，AG＝． 　　所以，，． 　　三棱錐D－ABC的表面積為 　　(2)取AC的中點H，因為AB＝BC，所以BH⊥AC． 　　因為AF＝3FC，所以F為CH的中點． 　　因為E為BC的中點，所以EF∥BH．則EF⊥AC． 　　因為△BCD是正三角形，所以DE⊥BC． 　　因為AB⊥平面BCD，所以AB⊥DE． 　　因為AB∩BC＝B，所以DE⊥平面ABC．所以DE⊥AC． 　　因為DE∩EF＝E，所以AC⊥平面DEF 　　(3)存在這樣的點N， 　　當(dāng)CN＝時，MN∥平面DEF． 　　連CM，設(shè)CM∩DE＝O，連OF． 　　由條件知，O為△BCD的重心，CO＝CM． 　　所以當(dāng)CF＝CN時，MN∥OF．所以CN＝．