Question

【題目】已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），．

（Ⅰ）求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）設(shè)，若滿足且，試判斷方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù),并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），但無極小值；（Ⅱ）有2個(gè)實(shí)數(shù)根，利用見解析.

【解析】

（I）利用的導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性，由此求得的極值.

（II）求得的表達(dá)式，求得其導(dǎo)函數(shù)，由此求得的單調(diào)區(qū)間、極小值（最小值），結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，判斷出有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以．

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減．

所以，但無極小值．

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以

因?yàn)?/span>，所以，于是．

令，得或．

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增．

所以．

因?yàn)?/span>，所以，．

又函數(shù)在上連續(xù)，故有一個(gè)零點(diǎn)為0，且在上也有一個(gè)零點(diǎn)．

綜上，方程的有2個(gè)實(shí)數(shù)根．