Question

11．四邊形ABCD是菱形，ACEF是矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，AB=2AF=2，∠BAD=60°，G是BE的中點．
（Ⅰ）證明：CG∥平面BDF
（Ⅱ）求二面角E-BF-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理或者面面平行的性質(zhì)定理即可證明：CG∥平面BDF
（Ⅱ）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角E-BF-D的余弦值．

解答 （ I） 證法一：設(shè)AC∩BD=O，BF的中點為H，因為G是BE的中點，
$GH∥EF∥AC，GH=\frac{1}{2}AC=OC$，
∴OCGH是平行四邊形∴CG∥OH，CG?平面BDF，
OH?平面BDF，
∴CG∥平面BDF
證法二：因為G是BE的中點，$2\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{DF}$，
∴CG∥DF，
∵CG?平面BDF，DF?平面BDF，
∴CG∥平面BDF
（ II）
設(shè)EF的中點為N，ACEF是矩形，ON⊥AC，平面ACEF⊥平面ABCD，
∴ON⊥面ABCD∴ON⊥AC，ON⊥BD
四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
以O(shè)為原點，OB所在直線為x軸，OC所在直線為Y軸，ON所在直線為Z軸 建立空間直角坐標系，
AB=2，AF=1，∠BAD=60°，
則$\overrightarrow{DB}=（{2，0，0}），\overrightarrow{BF}=（{-1，-\sqrt{3}，1}），\overrightarrow{EF}=（{0，-2\sqrt{3}，0}）$
平面BEF的法向量為$\overrightarrow{n_1}=（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）$，平面BDF的法向量為$\overrightarrow{n_2}=（{{x_2}，{y_2}，{z_2}}）$，
$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{-2\sqrt{3}{y_1}=0}\\{-{x_1}-\sqrt{3}{y_1}+{z_1}=0}\end{array}}\right.$令z₁=1，則$\overrightarrow{n_1}=（{1，0，1}）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{2{x_2}=0}\\{-{x_2}-\sqrt{3}{y_2}+{z_2}=0}\end{array}}\right.⇒\overrightarrow{n_2}=（{0，1，\sqrt{3}}）$
設(shè)二面角 E-BF-D的大小為θ
則$cosθ=|cos＜\overrightarrow{{n_1}，}\overrightarrow{n_2}＞|=|{\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{2}×2}}}|=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，
則二面角E-BF-D的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題主要考查空間線面平行的判斷以及二面角的求解，利用線面平行的判定定理或面面平行的性質(zhì)定理以及建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法是解決二面角的關(guān)鍵．考查學生的運算和推理能力．