Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，x≥0}\\{{a}^{x}-1，x＜0}\end{array}\right.$，（x＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，3）．
（Ⅰ）求a的值，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y=f（x）的圖象；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（m，m+1）上是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，3），求出a，得到函數(shù)解析式，然后畫(huà)出圖象．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函數(shù)的圖象，可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0），（2，+∞），推出m的取值范圍．

解答 本題滿(mǎn)分（12分）．
解：（Ⅰ）∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，3），∴a^-2-1=3，解得$a=\frac{1}{2}$，
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+4x\;，x≥0\\{（\frac{1}{2}）^x}-1，x＜0.\end{array}\right.$
其圖象如圖所示：
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0），（2，+∞），
∴m+1≤0或m≥2或$\left\{\begin{array}{l}m+1≤2\\ m≥0\end{array}\right.$，
∴m的取值范圍為m≤-1或0≤m≤1或m≥2．

點(diǎn)評(píng) 本小題考查二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分段函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)的基本性質(zhì)；考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力；考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)與整合等數(shù)學(xué)思想．