Question

6．在正方形ABCD中，P為對角線BD上的一點，PECF是矩形，用向量方法證明PA=EF[已知若$\overrightarrow{a}$=（x，y），則|$\overrightarrow{a}$|²=x²+y²]．

Answer 1

分析 以B為原點、BC為x軸建立如圖直角坐標系，設正方形的邊長為1，且BE=x，可得A、B、E、F、P各點的坐標，從而得到$\overrightarrow{AP}$=（x，x-1），$\overrightarrow{EF}$=（1-x，x），根據(jù)向量模的定義，即可證明．得出．

解答 解：以B為原點、BC為x軸，建立直角坐標系，如圖所示
設正方形的邊長為1，且BE=x，可得B（0，0），E（x，0），F(xiàn)（1，x），
P（x，x），A（0，1），
可得$\overrightarrow{AP}$=（x，x-1），$\overrightarrow{EF}$=（1-x，x），
∴|$\overrightarrow{AP}$|=$\sqrt{{x}^{2}+（x-1）^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}-2x+1}$，|$\overrightarrow{EF}$|=$\sqrt{（1-x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}-2x+1}$，
∴|$\overrightarrow{AP}$|=|$\overrightarrow{EF}$|，
∴PA=EF．

點評 本題考查了向量的坐標運算、模的計算公式、向量垂直與數(shù)量積運算之間的關系，考查了計算能力，屬于中檔題．