Question

已知函數(shù)f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2在區(qū)間[0，2]上有最小值為g（a），求g（a）的最小值．

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2在區(qū)間[0，2]上有最小值g（a），對(duì)函數(shù)進(jìn)行配方，對(duì)對(duì)稱軸是否在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行討論，從而可知函數(shù)在何處取得最小值，解出相應(yīng)的a的范圍即可．

解答：解：f(x)=4(x-

a

2

)2-2a+2
①當(dāng)

a

2

≤0即a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在[0，2]上是增函數(shù)，∴f（x）_min=f（0）=a²-2a+2（2分）
②當(dāng)o＜

a

2

＜2即0＜a＜4時(shí)，f（x）_min=f（

a

2

）=-2a+2（4分）
③當(dāng)

a

2

≥2即a≥4時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，（6分）
∴f（x）_min=f（2）=a²-10a+18∴g(a)=

a2-2a+2，a≤0 -2a+2 ，&0＜a＜4 a2-10a+18，a≥4.

（8分）
又當(dāng)a≤0時(shí)，g（a）_min=g（0）=2（10分）
當(dāng)0＜a＜4時(shí)，g（a）＞g（4）=-6（12分）
當(dāng)a≥4時(shí)，g（a）_min=g（5）=-7（14分）
∴g（a）_min=g（5）=-7（16分）

點(diǎn)評(píng)：考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題中的動(dòng)軸定區(qū)間上的最值問題，體現(xiàn)了分類討論和運(yùn)動(dòng)變化的思想方法，屬中檔題．