分析 (1)利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的周期性,得出結論.
(2)根據(jù)函數(shù)的解析式,利用正弦函數(shù)的單調性,求得f(x)的減區(qū)間.
(3)由題意可得函數(shù)f(x)的圖象和直線y=k有2個不同的交點,利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f(x)的值域,數(shù)形結合求得k的范圍.
解答 解:(1)函數(shù)f(x)=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
=2($\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x)=2sin(2x+$\frac{π}{3}$),
故它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π.
(2)由令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,
求得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$,
所以f(x)的單調遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{12}$,kπ+$\frac{7π}{12}$],k∈Z.
(3)函數(shù)g(x)=f(x)-k在(0,$\frac{π}{3}$]上有兩個不同的零點,
即函數(shù)f(x)的圖象和直線y=k有2個不同的交點.
∵在(0,$\frac{π}{3}$]上,2x+$\frac{π}{3}$∈($\frac{π}{3}$,π],f(x)∈[0,2],
結合f(x)的圖象可得k∈($\sqrt{3}$,2).
點評 本題主要考查三角恒等變換,正弦函數(shù)的周期性和單調性,正弦函數(shù)的定義域和值域,正弦函數(shù)的圖象,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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