Question

（2013•浙江模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=x²-|x²-ax-9|（a為實(shí)數(shù)），在區(qū)間（-∞，-3）和（3，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

（0，12]

．

Answer 1

分析：令函數(shù)g（x）=x²-ax-9，則g（x）一定有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為 x₁ 和x₂，且 x₁＜x₂．根據(jù)f（x）的解析式以及
f（x）在區(qū)間（-∞，-3）和（3，+∞）上單調(diào)遞增，可得a＞0．再由y=2x²-ax-9的對(duì)稱(chēng)軸為 x=

a

4

，
且-3＜

a

4

＜3，可得a的取值范圍．

解答：解：令函數(shù)g（x）=x²-ax-9，由于g（x）的判別式△=a²+36＞0，故函數(shù)g（x）一定有兩個(gè)零點(diǎn)，
設(shè)為 x₁ 和x₂，且 x₁＜x₂．
∵函數(shù)f（x）=x²-|x²-ax-9|=

ax+9 ， x＜x1或x＞x2 2x2-ax-9 ，x1≤x≤x2

，故當(dāng)x∈（-∞，x₁）、（x₂，+∞）時(shí)，
函數(shù)f（x）的圖象是位于同一條直線上的兩條射線，
當(dāng)x∈（x₁，x₂ ）時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象是拋物線y=2x²-ax-9 下凹的一部分，且各段連在一起．
由于f（x）在區(qū)間（-∞，-3）和（3，+∞）上單調(diào)遞增，∴a＞0．
再由y=2x²-ax-9的對(duì)稱(chēng)軸為 x=

a

4

，且-3≤

a

4

≤3，可得-12≤a≤12．
綜上可得，0＜a≤12，故實(shí)a的取值范圍為 （0，12]，
故答案為 （0，12]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．