Question

已知sinα=

4

5

，α∈(0，

π

2

)．
（1）求sin2α的值；
（2）求tan2α+

2

cos(α-

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）由同角三角函數(shù)的基本關系算出cosα=

3

5

，再利用二倍角的正弦公式即可算出sin2α的值；
（2）根據(jù)二倍角的余弦公式算出cos2α=-

7

25

，從而得出tan2α=

sin2α

cos2α

=-

24

7

．再根據(jù)兩角差的余弦公式，結合前面算出的數(shù)據(jù)算出cos(α-

π

4

)=

7 2

10

，代入所求式加以計算，即可得到答案．

解答：解：（1）∵sinα=

4

5

，α∈(0，

π

2

)，
∴cosα=

1-sin2α

=

3

5

，
由此可得sin2α=2sinαcosα=2×

4

5

×

3

5

=

24

25

；
（2）由（1）得cosα=

3

5

，可得cos2α=2cos²α-1=2×(

3

5

)2-1=-

7

25

，
∴tan2α=

sin2α

cos2α

=-

24

7

．
又∵cos(α-

π

4

)=cosαcos

π

4

+sinαsin

π

4

=

2

2

(cosα+sinα)=

2

2

(

3

5

+

4

5

)=

7 2

10

，
∴tan2α+

2

cos(α-

π

4

)=-

24

7

+

2

×

7 2

10

=-

71

35

．

點評：本題著重考查了同角三角函數(shù)的基本關系、兩角和與差的三角函數(shù)公式和二倍角的三角函數(shù)公式等知識，屬于中檔題．