Question

1．已知點(diǎn)（x，y）是不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+y≤4}\\{ax+by+c≥0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域內(nèi)的一個動點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為7，最小值為1，則$\frac{a-b+c}{a}$=0．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，作出不等式組表示的三角形區(qū)域如圖，再將直線l：z=2x+y進(jìn)行平移，可得使z取得最小值1的點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，-1），取得最大值7的點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，1），最后將A、B坐標(biāo)代入第三個不等式對應(yīng)的直線方程，可得b=-a，c=-2a，從而求出目標(biāo)函數(shù)的值．

解答 解：∵目標(biāo)函數(shù)z=2x+y在不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+y≤4}\\{ax+by+c≥0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域內(nèi)既有最大值，也有最小值，
不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+y≤4}\\{ax+by+c≥0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域是一個三角形區(qū)域（含邊界）
作出可行域如右圖，將直線l：z=2x+y，即y=-2x+z進(jìn)行平移，可得
當(dāng)l經(jīng)過直線x=1和ax+by+c=0的交點(diǎn)A（1，y₀）時，z取得最小值1；
當(dāng)l經(jīng)過直線x+y=4和ax+by+c=0的交點(diǎn)B時，z取得最大值7．
∴1×2+y₀=1，解之得y₀=-1且$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{2x+y=7}\end{array}\right.$，解之得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
因此，A的坐標(biāo)為（1，-1），B的坐標(biāo)為（3，1），代入不等式第三式對應(yīng)直線，
可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{3a+b+c=0}\end{array}\right.$，所以b=-a，c=-2a，可得$\frac{a-b+c}{a}$=0
故答案為：0．

點(diǎn)評 本題給出一個待定的平面區(qū)域，在已知目標(biāo)函數(shù)的最值時求字母參數(shù)的比值，著重考查了簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用的知識，屬于中檔題．