Question

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),解不等式;

(Ⅱ)若,對(duì)任意都有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (∞,5)∪（1,+∞)；(Ⅱ)(0,6]

【解析】

(Ⅰ)由題知當(dāng)a=1時(shí),不等式等價(jià)于|x+3|+|x+1|>6，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義能求出不等式的解集．
(Ⅱ) 由,對(duì)任意都有，只需f(x)的最小值大于等于的最大值即可，轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問(wèn)題建立不等關(guān)系式，由此能求出a的取值范圍．

(Ⅰ)∵函數(shù)，

∴當(dāng)a=1時(shí),不等式等價(jià)于|x+3|+|x+1|>6，

根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義：

|x+3|+|x+1|>6可以看作數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)3和點(diǎn)1的距離之和大于6，

則點(diǎn)x到點(diǎn)3和點(diǎn)1的中點(diǎn)O的距離大于3即可，

∴點(diǎn)x在5或其左邊及1或其右邊，

即x<5或x>1.

∴不等式的解集為(∞,5)∪（1,+∞).

(Ⅱ) ∵,對(duì)任意都有，

只需f(x)的最小值大于等于的最大值即可.

由可得，

，

設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，

，

∴，

解得，

又，

∴

∴a的取值范圍是(0,6].