Question

已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，沿△ABC的高AD將△BAD折起到△B′AD，使得B′C=

2

，則此時(shí)四面體B′-ADC的體積為

 

，該四面體外接球的表面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離,球

分析：由題意可得，三棱錐B-ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，可得AD⊥底面BCD，由三棱錐的體積公式計(jì)算即可得到；它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，然后求球的體積即可．

解答： 解：根據(jù)題意可知三棱錐B-ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD、DC⊥DA，
由BD=CD=1，B′C=

2

，則底面是等腰直角三角形，
則AD⊥底面BCD，AD=

3

，
即有四面體B′-ADC的體積為

1

3

×

3

×

1

2

×1×1=

3

6

；
它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，
求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁的中，底面邊長(zhǎng)為1，1，

2

，
由題意可得：三棱柱上下底面中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等，
說(shuō)明中心就是外接球的球心，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心為O，外接球的半徑為r，
球心到底面的距離為

3

2

，
底面中心到底面三角形的頂點(diǎn)的距離為

2

2

，
∴球的半徑為r=

( 3 2 )2+( 2 2 )2

=

5

2

．
四面體ABCD外接球體積為：

4π

3

r³=

4π

3

×（

5

2

）³=

5 5

6

π．
故答案為：

3

6

，

5 3

6

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定定理和三棱錐的體積公式和球的體積公式的運(yùn)用，同時(shí)考查空間想象能力，計(jì)算能力；三棱柱上下底面中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等，說(shuō)明中心就是外接球的球心，是本題解題的關(guān)鍵，仔細(xì)觀察和分析題意，是解好數(shù)學(xué)題目的前提．