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19.已知函數(shù)f(x)=3xax+b,f(1)=1,f(12)=34,數(shù)列{xn}滿足x1=32,xn+1=f(xn),n∈N*
(Ⅰ)求x2,x3
(Ⅱ)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.
(Ⅲ)求證:nk=1xk3k34

分析 (Ⅰ)f(1)=1,f(12)=34,求出函數(shù)的解析式f(x)=3x2x+1,然后求解x2,x3
(Ⅱ)通過xn+1=f(xn)=3xn2xn+1,推出數(shù)列{1xn1}是以13為首項(xiàng),13為公比的等比數(shù)列,然后求解數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.
(Ⅲ)xn=3n3n1.可得xn3n=13n1,推出xk3k=13k1123k1kN+,利用等比數(shù)列求和化簡證明即可.

解答 解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=3xax+b,f(1)=1,f(12)=34,可得:{a+b=3a+2b=4,解得{a=2b=1,
f(x)=3x2x+1,x2=f(x1)=f(32)=98,x3=f(x2)=f(98)=2726
(Ⅱ)xn+1=f(xn)=3xn2xn+11xn+1=2xn+13xn=131xn+23,
1xn+11=131xn1
∴數(shù)列{1xn1}是以13為首項(xiàng),13為公比的等比數(shù)列,
所以1xn1=13n,
數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.xn=3n3n1
(Ⅲ)證明:xn=3n3n1.可得xn3n=13n1,3n-1=3•3n-1-1=2•3n-1+3n-1-1≥2•3n-1,
xk3k=13k1123k1kN+,
nk=1xk3k121+13+132++13n1=12113n113=34113n34

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用,數(shù)列求和,數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若cn=(3n-2)•bn,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn
①求Tn;
②若對(duì)任意n≥2,n∈N*,均有(Tn-5)m≥6n2-31n+35恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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喜愛打籃球不喜愛打籃球合計(jì)
男生22628
女生101020
合計(jì)321648
(Ⅰ)判斷是否有95%的把握認(rèn)為喜愛籃球與性別有關(guān)?請(qǐng)說明理由;
(Ⅱ)若從女同學(xué)中抽取2人進(jìn)一步調(diào)查,設(shè)其中喜愛打籃球的女同學(xué)人數(shù)為X,求X的分布列與期望.
附:K2=nadbc2a+bc+da+cb+d
P(K2≥k)0.0500.0100.001
k3.8416.63510.828

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