分析 (Ⅰ)f(1)=1,f(12)=34,求出函數(shù)的解析式f(x)=3x2x+1,然后求解x2,x3.
(Ⅱ)通過xn+1=f(xn)=3xn2xn+1,推出數(shù)列{1xn−1}是以−13為首項(xiàng),13為公比的等比數(shù)列,然后求解數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.
(Ⅲ)xn=3n3n−1.可得xn3n=13n−1,推出xk3k=13k−1≤12•3k−1(k∈N+),利用等比數(shù)列求和化簡證明即可.
解答 解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=3xax+b,f(1)=1,f(12)=34,可得:{a+b=3a+2b=4,解得{a=2b=1,
f(x)=3x2x+1,x2=f(x1)=f(32)=98,x3=f(x2)=f(98)=2726.
(Ⅱ)xn+1=f(xn)=3xn2xn+1,1xn+1=2xn+13xn=13•1xn+23,
1xn+1−1=13(1xn−1),
∴數(shù)列{1xn−1}是以−13為首項(xiàng),13為公比的等比數(shù)列,
所以1xn−1=−13n,
數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.xn=3n3n−1.
(Ⅲ)證明:xn=3n3n−1.可得xn3n=13n−1,3n-1=3•3n-1-1=2•3n-1+3n-1-1≥2•3n-1,
∴xk3k=13k−1≤12•3k−1(k∈N+),
∴∑nk=1xk3k≤12(1+13+132+…+13n−1)=12•1−13n1−13=34•(1−13n)<34.
點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用,數(shù)列求和,數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.
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喜愛打籃球 | 不喜愛打籃球 | 合計(jì) | |
男生 | 22 | 6 | 28 |
女生 | 10 | 10 | 20 |
合計(jì) | 32 | 16 | 48 |
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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