當n∈N*時，，
（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；
（Ⅱ）猜想Sn與Tn的關系，并用數(shù)學歸納法證明．
【答案】分析：（I）由已知直接利用n=1，2，求出S1，S2，T1，T2的值；
（II）利用（1）的結果，直接猜想Sn=Tn，然后利用數(shù)學歸納法證明，①驗證n=1時猜想成立；②假設n=k時，Sk=Tk，通過假設證明n=k+1時猜想也成立即可．
解答：解：（I）∵當n∈N*時，，Tn=+++…+．
∴S1=1-=，S2=1-+-=，T1==，T2=+=（2分）
（II）猜想：Sn=Tn（n∈N*），即：
1-+-+…+-=+++…+
（n∈N*）（5分）
下面用數(shù)學歸納法證明：
①當n=1時，已證S1=T1（6分）
②假設n=k時，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），
即：1-+-+…+-=+++…+（8分）
則：Sk+1=Sk+-=Tk+-（10分）
=+++…++-（11分）
=++…+++（-）
=++…++=Tk+1，
由①，②可知，對任意n∈N*，Sn=Tn都成立．（14分）
點評：本題是中檔題，考查數(shù)列遞推關系式的應用，數(shù)學歸納法證明數(shù)列問題的方法，考查邏輯推理能力，計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于數(shù)列{xn}，如果存在一個正整數(shù)m，使得對任意的n（n∈N*）都有xn+m=xn成立，那么就把這樣一類數(shù)列{xn}稱作周期為m的周期數(shù)列，m的最小值稱作數(shù)列{xn}的最小正周期，以下簡稱周期．例如當xn=2時，{xn}是周期為1的周期數(shù)列，當yn=sin(
π
2
n)時，{yn}的周期為4的周期數(shù)列．
（1）設數(shù)列{an}滿足an+2=λ•an+1-an（n∈N*），a1+a，a2=b（a，b不同時為0），且數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列，求常數(shù)λ的值；
（2）設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且4Sn=（an+1）2．
①若an＞0，試判斷數(shù)列{an}是否為周期數(shù)列，并說明理由；
②若anan+1＜0，試判斷數(shù)列{an}是否為周期數(shù)列，并說明理由．
（3）設數(shù)列{an}滿足an+2=-an+1-an（n∈N*），a1=1，a2=2，bn=an+1，數(shù)列{bn}的前n項和Sn，試問是否存在p、q，使對任意的n∈N*都有p≤
Sn
n
≤q成立，若存在，求出p、q的取值范圍；不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

當n∈N+時，定義函數(shù)N（n）表示n的最大奇因數(shù)．如N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，N（5）=5，N（10）=5，記S（n）=N（2n-1）+N（2n-1+1）+…+N（2n-1）（n∈R+）則：（1）S（3）=
16
16
；（2）S（n）=
4n-1
4n-1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

用數(shù)學歸納法證明“當n∈N*時，1+2+22+23+…+25n-1是31的倍數(shù)”時，從k到k+1時需添加的項是
25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4
25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4
．．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）是（0，+∞）上的單調遞增函數(shù)，當n∈N*時，f（n）∈N*，且f[f（n）]=3n，則f（1）的值等于（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源：設計選修數(shù)學－4-5人教A版 人教A版 題型：013

用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步歸納假設應該寫成

[　　]
A．

假設當n＝k(k∈N+)時，xk＋yk能被x＋y整除

B．

假設當n＝2k(k∈N+)時，xk＋yk能被x＋y整除

C．

假設當n＝2k＋1(k∈N+)時，xk＋yk能被x＋y整除

D．

假設當n＝2k－1(k∈N+)時，xk＋yk能被x＋y整除

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同步練習冊答案