已知數(shù)列{a
n}滿足a
n=2a
n-1+2
n-1(n≥2),a
1=5,b
n=
(Ⅰ)證明:{b
n}為等差數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列{a
n}的前n項和S
n.
分析:(I)利用已知a
n=2a
n-1+2
n-1(n≥2),變形
an-1=2(an-1-1)+2n,兩邊同除以
=+1.即b
n=b
n-1+1即可證明{b
n}是等差數(shù)列.
(II)利用“錯位相減法”即可得出.
解答:(I)證明:∵a
n=2a
n-1+2
n-1(n≥2),∴
an-1=2(an-1-1)+2n,
∴
=+1.∴b
n=b
n-1+1.
∴{b
n}是首項為
=
=2,公差為1的等差數(shù)列;
(II)解:由(I)可得b
n=2+(n-1)×1=n+1,
∴
=n+1,∴
an=(n+1)•2n+1,
令
cn=(n+1)•2n,其前n項和為Tn,
則T
n=2×2+3×2
2+4×2
3+…+n•2
n-1+(n+1)•2
n,
2T
n=2×2
2+3×2
3+…+n•2
n+(n+1)•2
n+1,
兩式相減得-T
n=2×2+2
2+2
3+…+2
n-(n+1)•2
n+1=
2+-(n+1)•2
n+1=-n•2
n+1,
∴
Tn=n•2n+1.
∴S
n=T
n+n=n+n•2
n+1.
點評:本題考查了通過變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等差數(shù)列的通項公式、“錯位相減法”等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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題型:
已知數(shù)列{a
n}滿足:a
1=1且
an+1=, n∈N*.
(1)若數(shù)列{b
n}滿足:
bn=(n∈N*),試證明數(shù)列b
n-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{a
nb
n}的前n項和S
n;
(3)數(shù)列{a
n-b
n}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:
已知數(shù)列{a
n}滿足
a1+a2+a3+…+an=2n+1則{a
n}的通項公式
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:
已知數(shù)列{a
n}滿足:a
1=
,且a
n=
(n≥2,n∈N
*).
(1)求數(shù)列{a
n}的通項公式;
(2)證明:對于一切正整數(shù)n,不等式a
1•a
2•…a
n<2•n!
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知數(shù)列{a
n}滿足a
n+1=|a
n-1|(n∈N
*)
(1)若
a1=,求a
n;
(2)若a
1=a∈(k,k+1),(k∈N
*),求{a
n}的前3k項的和S
3k(用k,a表示)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
(2012•北京模擬)已知數(shù)列{a
n}滿足a
n+1=a
n+2,且a
1=1,那么它的通項公式a
n等于
2n-1
2n-1
.
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