Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2），a₁=5，b_n=

an-1

2n

（Ⅰ）證明：{b_n}為等差數(shù)列；   
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）利用已知a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2），變形an-1=2(an-1-1)+2n，兩邊同除以

an-1

2n

=

an-1-1

2n-1

+1．即b_n=b_n-1+1即可證明{b_n}是等差數(shù)列．
（II）利用“錯位相減法”即可得出．

解答：（I）證明：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2），∴an-1=2(an-1-1)+2n，
∴

an-1

2n

=

an-1-1

2n-1

+1．∴b_n=b_n-1+1．
∴{b_n}是首項為

a1-1

2

=

5-1

2

=2，公差為1的等差數(shù)列；
（II）解：由（I）可得b_n=2+（n-1）×1=n+1，
∴

an-1

2n

=n+1，∴an=(n+1)•2n+1，
令cn=(n+1)•2n，其前n項和為Tn，
則T_n=2×2+3×2²+4×2³+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ，
2T_n=2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得-T_n=2×2+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹=2+

2(2n-1)

2-1

-（n+1）•2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹，
∴Tn=n•2n+1．
∴S_n=T_n+n=n+n•2ⁿ⁺¹．

點評：本題考查了通過變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等差數(shù)列的通項公式、“錯位相減法”等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．