Question

已知函數f(x)=

x+ 1 2 ，x∈[0， 1 2 ) 3x2，x∈[ 1 2 ，1]

，若存在x₁＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂），則x₁•f（x₂）的取值范圍為（　　）

• A．[

  3

  4

  ，1)
• B．[

  1

  8

  ，

  3

  6

  )
• C．[

  3

  16

  ，

  1

  2

  )
• D．[

  3

  8

  ， 3)

Answer 1

分析：根據函數的解析式畫出函數的圖象，根據題意數形結合求得x₁•f（x₂）的取值范圍．

解答：解：①當 0≤x＜

1

2

時，

1

2

≤f（x）=x+

1

2

＜1．故當x=

1

4

時，f（x）=

3

4

．
②當

1

2

≤x≤1時，

3

4

≤f（x）=3x²≤3，故當x=

3

3

時，f（x）=1．
若存在x₁＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂）=k，則

1

4

≤x₁ ＜

1

2

≤x₂ ＜1，
如圖所示：
顯然當k=f（x₁）=f（x₂）=

3

4

時，x₁•f（x₂）取得最小值，
此時，x₁=

1

4

，x₂=

1

2

，x₁•f（x₂）的最小值為

1

4

×

3

4

=

3

16

．
顯然，當k=f（x₁）=f（x₂）趨于1時，x₁•f（x₂）趨于最大，
此時，x₁趨于

1

2

，x₂趨于

3

3

，x₁•f（x₂）趨于

1

2

×1=

1

2

．
故x₁•f（x₂）的取值范圍為 [

3

16

，

1

2

)，
故選C．

點評：本題考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．