已知函數(shù)f(x)=
x+
1
2
,x∈[0,
1
2
)
3x2,x∈[
1
2
,1]
,若存在x1<x2,使得f(x1)=f(x2),則x1•f(x2)的取值范圍為( 。
分析:根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象,根據(jù)題意數(shù)形結(jié)合求得x1•f(x2)的取值范圍.
解答:解:①當(dāng) 0≤x<
1
2
時(shí),
1
2
≤f(x)=x+
1
2
<1.故當(dāng)x=
1
4
時(shí),f(x)=
3
4

②當(dāng)
1
2
≤x≤1時(shí),
3
4
≤f(x)=3x2≤3,故當(dāng)x=
3
3
時(shí),f(x)=1.
若存在x1<x2,使得f(x1)=f(x2)=k,則
1
4
≤x1
1
2
≤x2 <1,
如圖所示:
顯然當(dāng)k=f(x1)=f(x2)=
3
4
時(shí),x1•f(x2)取得最小值,
此時(shí),x1=
1
4
,x2=
1
2
,x1•f(x2)的最小值為
1
4
×
3
4
=
3
16

顯然,當(dāng)k=f(x1)=f(x2)趨于1時(shí),x1•f(x2)趨于最大,
此時(shí),x1趨于
1
2
,x2趨于
3
3
,x1•f(x2)趨于
1
2
×1
=
1
2

故x1•f(x2)的取值范圍為 [
3
16
,
1
2
)

故選C.
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)的單調(diào)性,考查學(xué)生分析解決問題的能力,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實(shí)數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請求出a的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知函數(shù)f(x)、g(x),下列說法正確的是( )
A.f(x)是奇函數(shù),g(x)是奇函數(shù),則f(x)+g(x)是奇函數(shù)
B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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