Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅱ）若a＞1，x∈[0，1）時，總有F（x）=f（x）+g（x）≥m成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）設P（x，y）是函數(shù)y=g（x）圖象上的任意一點，則P關(guān)于原點的對稱點Q在函數(shù)f（x）的圖象上，把Q的坐標代入f（x）得表達式可得答案；
（2）化簡F（x）=f（x）+g（x）的表達式，求當x∈[0，1）時f（x）+g（x）的最小值，故m小于此最小值即可．

解答： 解：（1）設P（x，y）是函數(shù)y=g（x）圖象上的任意一點，則P關(guān)于原點的對稱點Q的坐標為（-x，-y）．
∵已知點Q在函數(shù)f（x）的圖象上，∴-y=f（-x），而f（x）=log_a（x+1），∴-y=log_a（-x+1），
∴y=-log_a（-x+1），而P（x，y）是函數(shù)y=g（x）圖象上的點，
∴y=g(x)=-loga(-x+1)=loga

1

1-x

．
（2）當x∈[0，1）時，f(x)+g(x)=loga(x+1)+loga

1

1-x

=loga

1+x

1-x

．
下面求當x∈[0，1）時f（x）+g（x）的最小值．
令

1+x

1-x

=t，則x=

t-1

t+1

．
∵x∈[0，1），即0≤

t-1

t+1

＜1，解得t≥1，∴

1+x

1-x

≥1．
又a＞1，∴loga

1+x

1-x

≥loga1=0，∴f（x）+g（x）≥0，∴x∈[0，1）時，f（x）+g（x）的最小值為0．
∵當x∈[0，1）時，總有f（x）+g（x）≥m成立，∴m≤0，
即所求m的取值范圍為（-∞，0]．

點評：本題主要考查利用對稱性求函數(shù)的解析式，同時考查不等式恒成立的問題，解題的關(guān)鍵是把恒成立的問題轉(zhuǎn)化為求最值．