Question

在四面體ABCD中，AB⊥面BCD，BC=CD，∠BCD=90°，∠ADB=30°，E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點，分別求出面BEF與面ABC的法向量，并據(jù)此說明平面BEF與平面ABC的位置關系．

Answer 1

考點：平面與平面之間的位置關系

專題：空間向量及應用

分析：首先，設出A（0，0，a），然后，得到D（0，

3

a，0），B（0，0，0），C（

3

2

a，

3

2

a，0），E（

3

4

a，

3

4

a，

1

2

a），F(xiàn)（0，

3

2

a，

1

2

a），從而得到

BC

=（

3

2

a，

3

2

a，0），

BA

=（0，0，a），

BE

=（

3

4

a，

3

4

a，

1

2

a），

BF

=（0，

3

2

a，

1

2

a），最后，結合法向量進行求解．

解答： 解：由設A（0，0，a）及∠ADB=30°，得
點D（0，

3

a，0），B（0，0，0）
又BC=CD，∠BCD=90°，得
C（

3

2

a，

3

2

a，0），
由E、F分別是AC、AD的中點，得
E（

3

4

a，

3

4

a，

1

2

a），F(xiàn)（0，

3

2

a，

1

2

a），
∴

BC

=（

3

2

a，

3

2

a，0），

BA

=（0，0，a），

BE

=（

3

4

a，

3

4

a，

1

2

a），

BF

=（0，

3

2

a，

1

2

a），
設平面BEF的法向量為

μ1

=（α，β，γ），
∴

μ1 • BE =0 μ1 • BF =0

，
∴

3 α+ 3 β+γ=0 3 β+γ=0

，
∴取

α=0 β=1 γ=- 3

，
∴

μ1

=（0，1，-

3

），
設平面ABC的法向量為

μ2

=(x，y，z)，
∴

μ2 • BA =0 μ2 • BC =0

，
∴

3 x+ 3 y=0 z=0

，
∴取

x=1 y=-1 z=0

，
∴

μ2

=(1，-1，0)，
∵

μ1

•

μ2

=-1≠0，
∴平面BEF與平面ABC相交．

點評：本題重點考查了空間向量的運算、平面的法向量等知識，屬于中檔題．