Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S₁₀=55，S₂₀=210．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)bn=

an

an+1

，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N^*），使得b₁、b_m、b_k成等比數(shù)列．若存在，求出所有符合條件的m、k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出其首項和公差，直接利用S₁₀=55，S₂₀=210求出首項和公差即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）先求出bn=

an

an+1

=

n

n+1

，再代入b₁、b_m、b_k成等比數(shù)列對應(yīng)的等量關(guān)系，求出m、k之間的關(guān)系式，再利用題中k＞m≥2，k，m∈N^*，即可求出對應(yīng)的m、k的值．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則Sn=na1+

n(n-1)

2

d．（1分）
由已知，得

10a1+ 10×9 2 d=55 20a1+ 20×19 2 d=210.

（3分）
即

2a1+9d=11 2a1+19d=21.

解得

a1=1 d=1.

（5分）
所以a_n=a₁+（n-1）d=n（n∈N^*）．（6分）
（2）假設(shè)存在m、k（k＞m≥2，m，k∈N），使得b₁、b_m、b_k成等比數(shù)列，
則b_m²=b₁b_k．（7分）
因為bn=

an

an+1

=

n

n+1

，（8分）
所以b1=

1

2

，bm=

m

m+1

，bk=

k

k+1

．
所以(

m

m+1

)2=

1

2

×

k

k+1

．（9分）
整理，得k=

2m2

-m2+2m+1

．（10分）
因為k＞0，所以-m²+2m+1＞0．（11分）
解得1-

2

＜m＜1+

2

．（12分）
因為m≥2，m∈N^*，
所以m=2，此時k=8．
故存在m=2、k=8，使得b₁、b_m、b_k成等比數(shù)列．（14分）

點評：本題第一問主要考查利用等差數(shù)列的前n項和求數(shù)列{a_n}的通項公式以及等比關(guān)系的確定，是對等差數(shù)列，等比數(shù)列基礎(chǔ)知識的考查．作這一類型題目，一般是設(shè)出基本量，利用已知條件列出等量關(guān)系，再進行求解即可．