Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=4，a_n+2+2a_n=3a_n+1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）記數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+2+2a_n-3a_n+1=0，得a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），利用等比數(shù)列的通項公式可得a_n+1-a_n，再利用“累加求和”方法即可得出．
（2）利用分組求和法、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）由a_n+2+2a_n-3a_n+1=0，得a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=3為首項，公比為2的等比數(shù)列，
∴${a_{n+1}}-{a_n}=3•{2^{n-1}}$．
∴n≥2時，${a_n}-{a_{n-1}}=3•{2^{n-2}}$，…，a₃-a₂=3•2，a₂-a₁=3，
累加得${a_n}-{a_1}=3•{2^{n-2}}+3•{2^{n-3}}+…+3•2+3=3（{2^{n-1}}-1）$
∴${a_n}=3•{2^{n-1}}-2$（當(dāng)n=1時，也滿足）．
（2）由（1）利用分組求和法得${S_n}=3（{2^{n-2}}+{2^{n-3}}+…+2）-2n=3（{2^n}-1）-2n$．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義通項公式與求和公式、“累加求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．